Ce este paradoxul zilei de naștere

Iată un joc distractiv de ghicit: Cât de mare trebuie să fie un grup aleatoriu de persoane pentru a exista o șansă de 50% ca cel puțin două dintre ele să aibă aceeași zi de naștere? Răspunsul este 23, ceea ce îi surprinde pe mulți oameni. Cum este posibil acest lucru?

Atunci când meditează la această întrebare, cunoscută sub numele de „problema zilei de naștere” sau „paradoxul zilei de naștere” în statistică, mulți oameni ghicesc intuitiv 183, deoarece aceasta reprezintă jumătate din toate zilele de naștere posibile, având în vedere că, în general, există 365 de zile într-un an. Din nefericire, intuiția are deseori rezultate slabe la acest tip de problemă statistică.

„Îmi plac aceste tipuri de probleme pentru că ele ilustrează modul în care oamenii nu se pricep în general la probabilități, ceea ce îi determină să ia decizii incorecte sau să tragă concluzii greșite. În plus, ele arată cât de benefică poate fi matematica pentru îmbunătățirea vieții noastre. Așadar, rezultatele contraintuitive ale acestor probleme sunt amuzante, dar ele au și un scop”, a declarat, pentru Live Science, Jim Frost, un statistician care a scris trei cărți despre statistică și este un editorialist obișnuit al revistei Statistics Digest a Societății Americane de Calitate.

Ziua de naștere. Anii bisecți

Pentru a calcula răspunsul la problema zilei de naștere, Frost a început cu câteva ipoteze. În primul rând, nu a ținut cont de anii bisecți, deoarece acest lucru simplifică matematica și nu schimbă rezultatele cu mult. De asemenea, a presupus că toate zilele de naștere au șanse egale de a se întâmpla.

Dacă începeți cu un grup de două persoane, șansa ca prima persoană să nu împartă ziua de naștere cu cea de-a doua este de 364/365. Ca atare, probabilitatea ca ei să împartă o zi de naștere este 1 minus (364/365), sau o probabilitate de aproximativ 0,27%.

Dacă presupunem un grup de trei persoane, primele două persoane acoperă două date. Aceasta înseamnă că șansa ca cea de-a treia persoană să nu împartă ziua de naștere cu celelalte două este de 363/365. Ca atare, probabilitatea ca toți să împartă o zi de naștere este 1 minus produsul dintre (364/365) și (363/365), sau o probabilitate de aproximativ 0,82%.

Cu cât sunt mai multe persoane într-un grup, cu atât mai mari sunt șansele ca cel puțin o pereche de persoane să aibă ziua de naștere în comun. Cu 23 de persoane, există o șansă de 50,73%, a precizat Frost. Cu 57 de persoane, există o probabilitate de 99%.

„Am primit mesaje de la profesori de statistică de la facultate care vor face un pariu de 20 de dolari pe faptul că două persoane își împart ziua de naștere la un anumit curs de statistică. Având în vedere probabilitățile asociate cu problema zilei de naștere, el știe că este practic garantat că va câștiga. Dar, în fiecare semestru, studenții acceptă întotdeauna pariul și pierd! Din fericire, el spune că returnează banii, dar apoi îi învață cum să rezolve problema zilei de naștere”, a spus Frost.

Paradoxul zilei de naștere

Există mai multe motive pentru care răspunsul la problema zilei de naștere pare contraintuitiv. Unul dintre acestea este că oamenii pot calcula în mod inconștient care sunt șansele ca altcineva dintr-un grup să aibă ziua lor de naștere, spre deosebire de întrebarea reală, care este dacă cineva dintr-un grup are aceeași zi de naștere, a detaliat Frost: „În al doilea rând, cred că ei încep, de asemenea, cu ceva de genul: „Ei bine, sunt 365 de zile într-un an, așa că, probabil, ai nevoie de aproximativ 182 de persoane pentru o șansă de 50%. Dar, cel mai important, ei subestimează în mod semnificativ cât de repede crește probabilitatea odată cu mărimea grupului. Numărul de împerecheri posibile crește exponențial odată cu mărimea grupului. Iar oamenii sunt groaznici când vine vorba de a înțelege creșterea exponențială”.

Problema zilei de naștere este legată din punct de vedere conceptual de o altă problemă de creștere exponențială, a remarcat Frost: „Să presupunem că, în schimbul unor servicii, vi se oferă să fiți plătit cu 1 cent în prima zi, 2 cenți în a doua zi, 4 cenți în a treia zi, 8 cenți, 16 cenți și așa mai departe, timp de 30 de zile. Este aceasta o afacere bună? Majoritatea oamenilor cred că este o afacere proastă, dar datorită creșterii exponențiale, veți avea un total de 10,7 milioane de dolari în cea de-a 30-a zi”.